Да, у ребенка будет гражданство по праву рождения в той стране, где он родился. В случае Австралии, ему ещё можно параллельно получить и гражданство родителей. Есть знакомые в Австралии, у ребенка четыре гражданства: АУ, НЗ, РФ и Укр. Только вопрос зачем вам это надо, у родителей не-резидентов и не-граждан с рождением ребенка статус не меняется вроде бы (в случае АУ).
А про клиники я бы на вашем месте читала на аборигенских форумах, и никак не Харьковском
